Luogu P3547 [POI2013] CEN-Price List 题解 BFS 广度优先搜索

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题目描述：

给定一张边权均为a的无向图，现在将所有两点之间最短路为2a的点之间增加一条长度为b的无向边，问到给定点s的单元最短路。

题解：

对于一个点u到s的最短路只有三种情况：

经过的边边权均为a；
经过的边边权均为b；
经过的边边权a与b均有。

我们只需要求出上面三种情况的最短路取最小值即可。
对于情况一只需要进行一次BFS即可求出。
对于情况二我们同样可以通过一次BFS求出：

我们首先建立两张与原图一样的图，我们将两张图的边权全部记作1这样只需在最后的时候乘以a或者b即可，将这两张图记为g和newG；
对于本轮BFS的结点u，标记其在g中的相邻结点v已访问；
通过g遍历与u相邻的结点v，通过newG遍历与v相邻的结点w；若w已经被标记，则说明u与w之间的最短路为1，此时两者之间不存在边长为b的边，不能更新dis；若w并没有被标记，说明u与w之间的最短路距离为2，此时存在边长为b的边，所以进行更新dis[w] = dis[u] + 1，并将w入队，删除v到w的边；
通过g遍历与u相邻的结点v，标记其为未访问。

上述的过程需要删除v到w的边，可以通过前向星实现（建立双向链表）。该算法与三元环计数类似，时间复杂度为 $\sqrt m)$ 。能够删除的原因是：根据BFS可以知道先遍历的点的dis一定小于后遍历的点的距离，如果之前通过v到w的这条边更新过，后续通过这条边的距离一定会更大，因此不需要重复遍历。
对于情况三我们可以发现最多只会经过一条边权为a的边。这是因为，如果我们经过了边权为b的边，那么说明b<2a否则不会更优，那么既然这样，每有两条边权为a的边，则可以进行走一次边权为b的边进行优化，最会只可能剩下一条或者零条边权为a的边，如果将原图的边权改为1求得一次的单元最短路的结果记为dis[u]（u与s的最短路），则情况三为： $\lfloor\frac {dis[u]} 2\rfloor * b + dis[u]\ mod\ 2 * a$ 。