算法基础之蒙德里安的梦想

蒙德里安的梦想

核心思想：状态压缩dp
- 总方案 = 横放的方案 剩下的地方竖着放是固定的了
- 状态压缩： 将每一列的图(横终点横起点竖) 用一个二进制数存下
  - 向后凸的为1 反之为0
- 状态计算： 所有 i – 1 列不冲突的 都加和
  - f[i , j] = f[i - 1 , k] + …. + …
- **不合法状态：**前两种合法后两种不合法 单个格子不能竖放
- 不冲突状态： ①j & k ==0 没重叠部分 ②j | k 必须是合法的

朴素版

  #include<iostream>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  
  using namespace std;
  const int N = 12 , M = 1 << N ;  //M为图的最大数 2的N次方
  
  int n,m;
  long long f[N][M];  //开long long的f存
  bool st[M];  //标记该图是否合法
  
  int main()
  {
      while(cin>>n>>m , n || m)  //有输入 且均不为0
      {
          for(int i=0;i< 1 << n ; i++)  //i<2的n次方
              //一共n行 每个位置两种选择 共2的n次方
          {
              int cnt = 0;  //记录一张图连续的0有多少个
              st[i] = true;  //初始i图为true合法的
              for(int j=0;j<n;j++)  //遍历图中每位数
              {
                  if(i >> j & 1)  //取i图中第j个数 判断是否为1
                  {  //若为1 则判cnt是奇数偶数
                      if(cnt & 1)  //奇数则说明 图不合法
                      {
                          st[i] = false; //有奇数0 直接false 退出循环
                          break;
                      }
                      cnt = 0 ;  //清空cnt 重新开始
                  }
                  else cnt++;  //若为0 cnt++
              }
              if(cnt & 1) st[i] = false;  //判断后段0的个数 没有1 进不去上面的判断 
          }
          
          memset(f,0,sizeof f);  //初始化
          f[0][0] = 1;  //0列 不放方块 方案 = 1
          for(int i=1;i<=m;i++)  //遍历每一列
              for(int j=0;j< 1 << n; j++)  //每列2的n次方张图
                  for(int k=0;k< 1 << n;k++)  //前一列也是2的n次方张图
                      if((j & k) == 0 && st[j | k])  //不冲突的条件
                          f[i][j] += f[i-1][k];  //计算
          cout<<f[m][0]<<endl;  //输出前m-1列排好序 没有凸出来的方案数
      }
  }

优化版

  #include<iostream>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  #include<vector>
  
  using namespace std;
  const int N = 12 , M = 1 << N ;
  
  int n,m;
  long long f[N][M];
  bool st[M];
  vector<vector<int>> state(M);  //用二维数组将与 j 不冲突的k存下 不用去再遍历了
  
  int main()
  {
      while(cin>>n>>m , n || m)
      {
          for(int i=0;i< 1 << n ; i++)
          {
              int cnt = 0;
              st[i] = true;
              for(int j=0;j<n;j++)
              {
                  if(i >> j & 1)
                  {
                      if(cnt & 1)
                      {
                          st[i] = false;
                          break;
                      }
                      cnt = 0 ;
                  }
                  else cnt++;
              }
              if(cnt & 1) st[i] = false;
          }
          
          for(int j=0;j< 1<<n;j++)
          {
              state[j].clear();  //清空之前的
              for(int k=0;k< 1<<n;k++)
              {
                  if((j & k) == 0 && st[j | k])
                      state[j].push_back(k);  //不冲突放里头
              }
          }
          memset(f,0,sizeof f);
          f[0][0] = 1;
          for(int i=1;i<=m;i++)
              for(int j=0;j< 1 << n; j++)
                  for(auto k : state[j])  //不冲突的已经存起来了 取出
                      f[i][j] += f[i-1][k];
          cout<<f[m][0]<<endl;
      }
  }