Dijkstra（迪杰斯特拉）算法总结

知识概览

Dijkstra算法适用于解决所有边权都是正数的最短路问题。
Dijkstra算法分为朴素的Dijkstra算法和堆优化版的Dijkstra算法。
朴素的Dijkstra算法时间复杂度为 $O(n^2)$ ，适用于稠密图。堆优化版的Dijkstra算法时间复杂度为 $O(mlogn)$ ，适用于稀疏图。
稠密图的边数m和 $n^2$ 是一个级别的，稀疏图的边数m和点数n是一个级别的。

朴素的Dijkstra算法

例题展示

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/description/851/

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];

int dijkstra()
{
    // dist[1] = 0, dist[i] = 无穷大
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;  // t为不在st为false的距离最近的点
                
        st[t] = true;
        
        // 用t更新其它点的距离
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
    }
    
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c);  // 重边取最小距离
    }
    
    int t = dijkstra();
    
    printf("%d\n", t);
    
    return 0;
}

堆优化版的Dijkstra算法

例题展示

题目链接

活动 - AcWing系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/852/

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 150010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});
    
    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        int ver = t.second, distance = t.first;
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;
        
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    
    int t = dijkstra();
    
    printf("%d\n", t);
    
    return 0;
}