二叉树相关算法

二叉树相关性质：
性质一：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)

性质二：深度为k的二叉树至多有2^(k-1)个结点(k>=1)

性质三：对任意一颗二叉树T，若终端结点数为 $n_0$ ,而其度数为2的结点数为 $n_2$ ，则 $n_0$ = $n_2$ + 1。
性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log n⌋+1(以2为底)

满二叉树：深度为k，且有2^(k-1)个结点的二叉树。在满二叉树中，每层结点都是满的，即每层节点都具有最大结点数。

完全二叉树：深度为k，结点数为n的二叉树，如果其结点1_{n的位置序号分别于满二叉树的节点1}n的位置序号一一对应，则为完全二叉树。可见，满二叉树必为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。

题目

不分行从上往下打印二叉树

典型题例：

从上往下打印出二叉树的每个结点，同一层的结点按照从左到右的顺序打印。

示例：

输入：
输入如下图所示二叉树[8, 12, 2, null, null, 6, null, 4, null, null, null]
    8
   / \
  12  2
     /
    6
   /
  4

输出：[8, 12, 2, 6, 4]

思路
$(BFS) O (n)$
我们从根节点开始按宽度优先的顺序遍历整棵树，每次先扩展左儿子，再扩展右儿子。
这样我们会：

先扩展根节点；
再依次扩展根节点的左右儿子，也就是从左到右扩展第二层节点；
再依次从左到右扩展第三层节点；
依次类推
所以BFS的顺序就是这道题目要求的顺序。

时间复杂度:
BFS时每个节点仅被遍历一次，所以时间复杂度是 O(n)O(n)。

代码：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<int> printFromTopToBottom(TreeNode* root) {

        vector<int> res;        //定义返回数组    
        if (!root)  return res; //判定边界条件

        queue<TreeNode*> q;     //定义队列
        q.push(root);           //把根结点加入队列

        while (q.size()){

            auto t = q.front();
            q.pop();
            res.push_back(t->val);  //将val加入数组中

            //判断是否有左右子树
            if (t->left)    q.push(t->left);    //有左子树就加入队列
            if (t->right)   q.push(t->right);   //有右子树就加入队列

        }

        return res;
    }
};

分行从上往下打印二叉树

典型题例：

从上到下按层打印二叉树，同一层的结点按从左到右的顺序打印，每一层打印到一行。

示例：

输入如下图所示二叉树[8, 12, 2, null, null, 6, null, 4, null, null, null]
    8
   / \
  12  2
     /
    6
   /
  4

输出：[[8], [12, 2], [6], [4]]

思路
核心：
在上一道题《不分行从上往下打印二叉树》的基础上修改代码。
区别在于，每一层结束的时候，往queue里塞一个NULL做标记。

在queue里读取一个数出来之后，先看看是不是level标识符NULL(因为是BFS，当前level读完，下一个level有哪些要读的也都放在queue里了，可以在queue结尾给加一个新的NULL), 是的话再看看是不是整个树读完了(即queue里没有点了)。

时间复杂度分析：每个点遍历一次

代码：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<vector<int>> printFromTopToBottom(TreeNode* root) {
        vector<vector<int>> res;
        if(!root) return res;
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        q.push(NULL); //root层的标识符

        vector<int> cur;
        while(q.size()){
            TreeNode* t = q.front();
            q.pop();

            if(t){ //跟上一道题同样的操作
                cur.push_back(t->val);
                if(t->left) q.push(t->left);
                if(t->right) q.push(t->right);
            }
            else{
                if(q.size()) q.push(NULL); 
                res.push_back(cur); 
                cur.clear();
            }
        }
        return res;

    }
};