一、spfa 算法

1. spfa 算法简介

• spfa 算法是 bellman-ford 算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。spfa 最坏情况下时间复杂度和朴素 bellman-ford 相同，为 O(nm)。
• 在这里，我们需要明确一下 松弛 的概念：
• 节点 u 以及它的邻节点 v，从起点跑到邻节点 v 有好多跑法，有的跑法经过 u ，有的不经过。
• 经过节点 u 的跑法的距离就是 dist[u] + 节点 u 到邻节点 v 的距离。
• 松弛操作，就是看一看 dist[v] 和 dist[u] + 节点 u 到邻节点 v 的距离哪个大一点。
• 如果前者大一点，就说明当前的不是最短路，就要赋值为后者，这就叫做松弛。

2. spfa 算法和 bellman-ford 算法的区别

• bellman-ford 算法具体讲解详见搜索与图论 - bellman-ford 算法。
• （1）bellman-ford 算法中，循环 n 次，每次遍历 m 条边，每次遍历的时候，把入度的点的距离更新成最小。但是，这样就循环遍历了很多用不到的边。比如第一次遍历，只有第一个点的临边是有效的。
• （2） 因此，spfa 算法中，采用邻接表的方式，只用到有效的点（更新了临边的点），直到每个点都是最短距离为止。采用队列优化的方式存储每次更新了的点，每条边最多遍历一次。如果存在负权回路，从起点 1 出发，回到 1 距离会变小， 会一直在三个点中循环。
• 因此，便会产生一个疑问，我们不用队列，直接遍历所有的点可以吗？
• 这样操作似乎不行，因为是更新了点之后，这个点的邻边才可以用，如果没有更新到循环的点，那么循环的点也是不可用的。

3. spfa 算法和 dijkstra 算法的区别

• dijkstra 算法具体讲解详见搜索与图论 - dijkstra 算法。
• （1）在 spfa 算法当中，st 数组用来检验队列中是否有重复的点。
• spfa 算法从队列中使用了当前的点，会把该点 pop 掉，状态数组 st[i] = false (说明堆中不存在了) ，更新邻边之后，把邻边放入队列中， 并且设置状态数组为 true，表示放入队列中 。如果当前的点距离变小，可能会再次进入队列，因此可以检验负环。
• 每次更新可以记录一次，如果记录的次数 > n，代表存在负环（环一定是负的，因为只有负环才会不断循环下去）。
• （2） 在 dijkstra 算法当中，st是一个集合，不是检验队列中的点。
• dijkstra 算法使用当前点更新邻边之后，把该点加入到一个集合中，使用该点更新邻边，并把邻边节点和距离起点的距离置入堆中（不设置状态数组）。下一次从堆中取最小值，并把对应的节点放入集合中，继续更新邻边节点，直到所有的点都存入集合中。因此 dijkstra 算法不判断负环。
• 从上述描述中能看出，dijkstra 算法存放节点的堆，具有单调性，而 spfa 算法的队列不需要具有单调性。

算法名称	对应问题
dijkstra 算法	只能处理带正权边的图
bellman-ford 算法	可以处理任意带负权边和负权环的图
spfa 算法	可以处理带负权边的图

4. spfa 算法实现步骤

• （1） 建立一个队列，初始时队列里只有起始点。
• （2） 建立一个数组记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为 0）。
• （3） 建立一个数组，标记点是否在队列中。
• （4） 队头不断出队，计算始点起点经过队头到其他点的距离是否变短，如果变短且被点不在队列中，则把该点加入到队尾。
• （5） 重复执行直到队列为空。
• （6） 在保存最短路径的数组中，就得到了最短路径。

5. spfa 算法举例图解

• 给定一个有向图，如下，求 A~E 的最短路。

• 节点 A 首先入队，然后节点 A 出队，计算出到节点 B 和节点 C 的距离会变短，更新距离数组，节点 B 和节点 C 没在队列中，节点 B 和节点 C 入队。

• 节点 B 出队，计算出到节点 D 的距离变短，更新距离数组，节点 D 没在队列中，节点 D 入队。然后节点 C 出队，无点可更新。

• 节点 D 出队，计算出到节点 E 的距离变短，更新距离数组，节点 E 没在队列中，节点 E 入队。

• 节点 E 出队，此时队列为空，源点到所有点的最短路已被找到，最短路即为 8。

6. spfa 算法用于求最短路和判断负环，详见下面两道例题。

二、spfa 算法例题—— spfa 求最短路

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 impossible。
数据保证不存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x，y，z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 impossible。

数据范围

1 ≤ n,m ≤ 1e5
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例

3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4

输出样例

2

具体实现

1. 样例演示

• 输入 n = 3，m = 3，表示求从 1 号点到 n = 3 号点的最短距离，共有 m = 3 条边。
• 从 1 号点到 2 号点的边长为 5 。
• 从 2 号点到 3 号点的边长为 -3 。
• 从 1 号点到 3 号点的边长为 4 。
• 显然，最短路径是 2 。

2. 实现思路

• 详见 spfa 算法举例图解。

3. 代码注解

• int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx；使用邻接表来存储图。
• int dist[N]；保存最短路径的值。
• int q[N], hh, tt = -1；表示队列。
• memset(h, -1, sizeof h)；初始化邻接表。
• memset(dist, 0x3f, sizeof dist)；初始化距离。
• 其他代码已经标记在实现代码当中。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;//邻接表，存储图
int st[N];//标记顶点是不是在队列中
int dist[N];//保存最短路径的值
int q[N], hh, tt = -1;//队列

//图中添加边和边的端点
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx++;
}

void spfa()
{
    tt++;
    q[tt] = 1;//从1号顶点开始松弛，1号顶点入队
    dist[1] = 0;//1号到1号的距离为 0
    st[1] = 1;//1号顶点在队列中
    
    //不断进行松弛
    while(tt >= hh)
    {
        int a = q[hh];//取对头记作a，进行松弛
        hh++;
        
        st[a] = 0;//取完队头后，a不在队列中了
        
        for(int i = h[a]; i != -1; i = ne[i])//遍历所有和a相连的点
        {
            //获得和a相连的点和边
            int b = e[i], c = w[i];
            
            //如果可以距离变得更短，则更新距离
            if(dist[b] > dist[a] + c)
            {
                //更新距离
                dist[b] = dist[a] + c;
                
                //如果没在队列中
                if(!st[b])
                {
                    tt++;
                    q[tt] = b;//入队
                    st[b] = 1;//打标记
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);//初始化邻接表
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化距离
    
    int n, m;//保存点的数量和边的数量
    cin >> n >> m;
    
    //读入每条边和边的端点
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        
        //加入到邻接表
        add(a, b, w);
    }
    
    spfa();
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f )//如果到n点的距离是无穷，则不能到达 
    {
        cout << "impossible";
    }
    else 
    {
        cout << dist[n];//否则能到达，输出距离
    }
    system("pause");
    return 0;
}

三、spfa 算法例题—— spfa 判断负环

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你判断图中是否存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x，y，z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1 ≤ n ≤ 2000
1 ≤ m ≤ 10000
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例

3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4

输出样例

Yes

具体实现

1. 实现思路

• 判断负环的方法和 bellman-ford 算法相同，应用抽屉原理。
• 抽屉原理： 如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。
• 如果一个点在被入队次数大于 n 次，那么说明存在负环。
• 原理是虽然一个点在状态数组会被多次更新，但是它的更新次数不会大于 n-1 次，因为从一个点到另一个点最多经过 n-1 条边。如果存在负环则会造成无限入队的情况，spfa 算法陷入死循环，这时候就可直接退出了。
• 个人理解:如果某一个点的 cnt >= n 的话说明这个点还没到最后一个点的时候就已经有了 n 条边了，早就已经符合出现负环的情况了。
• （1） dist[x] 记录虚拟源点到 x 的最短距离。
• （2） cnt[x] 记录当前 x 点到虚拟源点最短路的边数，初始每个点到虚拟源点的距离为 0 ，只要他能再走 n 步，即 cnt[x] >= n，则表示该图中一定存在负环，由于从虚拟源点到 x 至少经过 n 条边时，则说明图中至少有 n + 1 个点，表示一定有点是重复使用。
• （3） 若 dist[j] > dist[t] + w[i]，则表示从 t 点走到 j 点能够让权值变少，因此进行对该点 j 进行更新，并且对应 cnt[j] = cnt[t] + 1，往前走一步。

2. 代码注解

• int dist[N], cnt[N]；记录每个点到起点的边数，当 cnt[i] >= n 表示出现了边数 >= 结点数，必然有环，而且一定是负环。
• bool st[N]；判断当前的点是否已经加入到队列当中了；已经加入队列的结点就不需要反复的把该点加入到队列中了，就算此次还是会更新到起点的距离，那只用更新一下数值而不用加入到队列当中，意味着，st数组起着提高效率的作用，不在乎效率的话，去掉也可以。
• 其他代码注解已经标记在实现代码当中。

3. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2010, M = 10010;

int n, m;
int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    queue<int> q;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        st[i] = true;
        q.push(i);
    }
    
    //队列中的点用来更新其他点到起点的距离
    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        
        //t出队，标记出队
        st[t] = false;
        
        //更新与t邻接的边
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                //结点j可以通过中间点t降低距离
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                
                //那么结点j在中间点t的基础上加一条到自己的边
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                
                //边数不小于结点数，出现负环，函数结束
                if (cnt[j] >= n) 
                {
                    return true;
                }
                
                //若此时j没在队列中，则进队。
                //已经在队列中了，上面已经更新了数值。重复加入队列降低效率
                if (!st[j])
                {
                    //j进队，标记进队
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    //走到这了，函数还没结束，意味着边数一直小于结点数，不存在负环
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }

    if (spfa())
    {
        puts("Yes");
    }
    else 
    {
        puts("No");
    }
    system("pause");
    return 0;
}