[NOIP2001 普及组] 数的计算
题目描述
给出自然数 n n n,要求按如下方式构造数列:
- 只有一个数字 n n n 的数列是一个合法的数列。
- 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数,但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半,可以得到一个新的合法数列。
请你求出,一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a , b a, b a,b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i ≤ ∣ a ∣ i \leq |a| i≤∣a∣,使得 a i ≠ b i a_i \neq b_i ai=bi。
输入格式
输入只有一行一个整数,表示 n n n。
输出格式
输出一行一个整数,表示合法的数列个数。
样例 #1
样例输入 #1
6
样例输出 #1
6
提示
样例 1 解释
满足条件的数列为:
- 6 6 6
- 6 , 1 6, 1 6,1
- 6 , 2 6, 2 6,2
- 6 , 3 6, 3 6,3
- 6 , 2 , 1 6, 2, 1 6,2,1
- 6 , 3 , 1 6, 3, 1 6,3,1
数据规模与约定
对于全部的测试点,保证 1 ≤ n ≤ 1 0 3 1 \leq n \leq 10^3 1≤n≤103。
说明
本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题,但是原题的题面描述和数据不符,故对题面进行了修改,使之符合数据。原题面如下,谨供参考:
我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的正整数 n n n)。
先输入一个正整数 n n n( n ≤ 1000 n \le 1000 n≤1000),然后对此正整数按照如下方法进行处理:
- 不作任何处理;
- 在它的左边拼接一个正整数,但该正整数不能超过原数,或者是上一个被拼接的数的一半;
- 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加正整数为止。
感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈,原题面的问题见本贴。
思路
第一想法应该是递归,但是范围是 1e3 会时间超限
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<sstream>
#include<map>
#include<unordered_map>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010;
const int MOD = 1000000007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int gcd(int a, int b){return b ? gcd(b, a % b) : a;}
int lcm(int a, int b){return a * b / gcd(a, b);}
int lowbit(int x) {return x & -x;}
int n;
int dfs(int n)
{
if(n == 1) return 1;
int ans = 1;
for(int i = 1; i <= n / 2; i ++ ) {
ans += dfs(i);
}
return ans;
}
int main()
{
cin >> n;
cout << dfs(n) << endl;
return 0;
}
推推可以优化成线性时间
f[1]=1
f[2]=2=f[1]+1
f[3]=2=f[1]+1
f[4]=4=f[1]+f[2]+1
f[5]=4=f[1]+f[2]+1
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<sstream>
#include<map>
#include<unordered_map>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010;
const int MOD = 1000000007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int gcd(int a, int b){return b ? gcd(b, a % b) : a;}
int lcm(int a, int b){return a * b / gcd(a, b);}
int lowbit(int x) {return x & -x;}
int n;
int f[1010];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = 1; j <= i / 2; j ++ ) {
f[i] += f[j];
}
f[i] ++ ;
}
cout << f[n] << endl;
return 0;
}