异或
二进制位同为0,异为1
异或符号 ^
异或性质:
a^a=0 a^0=0
(a^ b ^c) =(a^c ^b)
一道异或的题目
最大异或对
题目链接
思路
注重思维方式
- 首先是暴力想法,使用两重循环,对每两个数字进行取异或运算,得出最大值
- 考虑如何优化。
- 首先,两重for循环的第一层无法优化,因为确实需要至少枚举一次数字。那么考虑优化第二层。
- 那么这么想,如果给定了一个固定的数字a,我们如何找到另外一个数字b使得 a^b最大。因为异或运算,从二进制角度思考,如果我们想让一个数最大,那么这个数的高位应该是1
如上图,对于a=10110,我们要找的b就最好每一位都是a的每一位取!,这样异或出来就是11111,这样就是最大的 - 那么第二重循环的目的就是,如何快速找到这样的b。因此我们考虑使用Trie树存储某个数的二进制表示:
如果我们像这样存储数字,那么在查找时就可以从树根往下找我们想要的!的数字。另一支就根本不用考虑。注意,树从上往下应该是从高位到地位,符合贪心的思维,因此可以得到最大值。 - 由此可见,思路就很明显了:用Trie树存储所有的数字(二进制从高位到低位存储),然后两层循环,第一层用于遍历所有数值,固定住此时的a。第二层用于搜寻对于a,Trie树中哪一个b使得a^b更大。最后比较每一个a所对应的a ^ b即可。
关于二进制数位的运算在代码中详细解释。详见代码注释。
实现代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//N用于标注数字的数量,M用于标注节点的数量。
//由于每个数字的范围是0-2^31,因此位数最多31位,最多1e5个数字,节点总数最多为31*1e5约为3*1e6
const int N=1e5+10,M=3*1e6+1e5;
//定义Trie树,不需要用记录num的数组,因为如果不存在,后面都是0,对于异或运算没影响
int son[M][2],idx=0;
int a[N];//用于存放数字的数组
void insert(int x){
//将x插入Trie树
int p=0;
for(int i=30;i>=0;i--){
//这里是30是因为数字范围是0-2^31,int第一位是符号位,这里用不到,后面一共31位,因此从30到0,自己体会
int u=(x>>i&1);//提取出x的某一位二进制
if(son[p][u]==0)//如果当前位没存
son[p][u]=++idx;
p=son[p][u];
}
}
int search(int x){
//搜寻能使得和当前x异或最大的数字
int p=0,res=0;//res是最大的结果值
for(int i=30;i>=0;i--){
int u=(x>>i&1);
//获得当前x二进制位的数字(从高到低)
if(son[p][!u]){//如果和该位置 ! (非)存在,注意这里是!
//那么就按照这条路走,并更新值
res+=(1<<i); //左移运算嘛,还记得嘛。
p=son[p][!u];
}
else{//如果该位置没有可以!的
//那么不用res+=,因为该位结果是0,不需要加
p=son[p][u];//没办法,只能按照u走,不能按照!u走
}
}
return res;
}
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
insert(a[i]);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,search(a[i]));
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
注意
犯了一个很笨比的错误
将!用成了~
!是反转其操作数,用于将0->1, 1->0, 隐式地将true和false转化
而~是按位取反 对于 ~0 ,按位取反后是11111… 值是-1(符号位)
太笨比了,确实数值转化没仔细学过