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题407.单调队列优化的dp问题-acwing-135. 最大子序和&1087. 修剪草坪&1088. 旅行问题

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一、题目

二、题解

由于是求长度不超过m的子序列和的最大值，即求一堆长度不超过m的区间和的最大值，关于区间和问题我们可以想到用前缀和的思想，开局预处理出前缀和s，则长度为i-j的区间[j+1,i]的和就为s[i]-s[j]。那么如何去求最大呢，我们考虑用dp来解决，则有y氏dp分析法如下：

对于得到的状态转移方程f[i]=max{s[i]-s[j]},1<=i-j<=m，将常数s[i]提出可化成f[i]=s[i]-min{s[j]},i-m<=j<=i-1，则对于min{s[j]}其实可以从前往后维护一个长度不超过m的区间的s的最小值，则可以套用滑动窗口模型，状态转移方程利用单调队列优化：在队头维护一个s的最小值，且队列元素单调递增。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=3e5+3;

int n,m;
int s[maxn],q[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1];//预处理得到前缀和
    }
    int res=-0x3f;
    int hh=0,tt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//遍历序列 
    {
        if(i-q[hh]>m) hh++;//区间大小不能超过m
        res=max(res,s[i]-s[q[hh]]);//取区间最大值
        while(hh<=tt&&s[q[tt]]>=s[i]) tt--;//因为每次取区间和都是当前位置-队头，所以要尽量保证队头元素最小，因此维护一个单调递增的队列
        q[++tt]=i;//只有当队尾元素小于当前位置元素时才能开始入队
    }
    printf("%d",res);
}

三、类似题目

1.acwing-1087. 修剪草坪
（1）题目


（2）题解
本题要你选牛来使得效率达到最大，这当然尽量全选，但由于选牛时不能超过K头牛连续，所以中间必须要有不选，那么该如何考虑这个问题呢？
因为选的时候有很多连续的牛，则其实求这段效率和也是求区间和，所以我们还是会想到用前缀和的思想，开局预处理出前缀和s，则求区间[j+1,i]的区间和即为s[i]-s[j]。那么如何求最后答案的最大值呢，我们可以考虑用dp解决，则有y氏dp分析法如下：

对于得到的递推公式中max{s[i]-s[j]+f[j-1]},0<=i-j<=K，将常数提出可化为max{f[j-1]-s[j]}+s[i]，则令g[j]=f[j-1]-s[j]，有max{g[j]}+s[i]，则对于max{g[j]}其实可以从前往后维护一个长度不超过K的区间的g的最大值，则可以套用滑动窗口模型，该部分方程运用单调队列优化：在队头维护一个g的最大值，且队列元素单调递减。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1e5+1;

int N,K;
ll s[maxn],f[maxn];
int q[maxn];

ll g(int i)
{
    if (!i) return 0;
    return f[i-1]-s[i];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&K);
    for(int i=1;i<=N;i++)//预处理前缀和
    {
        scanf("%lld",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    int hh=0,tt=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)//遍历序列
    {
        if(i-q[hh]>K) hh++;//区间大小不能超过K
        //对于f[i]，要么不选第i头牛由f[i-1]转移过来，要么选第i头牛由以该牛结尾的区间和与区间之前的答案之和转移过来
        f[i]=max(f[i-1],g(q[hh])+s[i]);//f[队头-1]+s[i]-s[队头]=f[队头-1]-s[队头]+s[i]
        while(hh<=tt&&g(q[tt])<=g(i)) tt--;//以g作为队列数值比较属性，以此维护一个单调递减的队列，保证队头取到最大
        q[++tt]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[N]);
}

2.acwing-1088. 旅行问题
（1）题目

（2）题解

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=2e6+2;

int n;
int p[maxn],d[maxn];
int q[maxn];
ll s[maxn];
bool ans[maxn];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i],&d[i]);

    //顺时针做
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i+n]=p[i]-d[i];
    for(int i=1;i<=2*n;i++) s[i]+=s[i-1];

    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=2*n;i;i--)
    {
        if(hh<=tt&&q[hh]-i>=n) hh++;
        while(hh<=tt&&s[q[tt]]>=s[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
        if(i<=n)
        {
            if(s[q[hh]]>=s[i-1]) ans[i]=true;
        }
    }

    //逆时针做
    d[0]=d[n];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i+n]=p[i]-d[i-1];
    for(int i=1;i<=2*n;i++) s[i]+=s[i-1];

    hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
    {
        if(hh<=tt&&i-q[hh]>n) hh++;
        if(i>n)
        {
            if(s[q[hh]]<=s[i]) ans[i-n]=true;
        }
        while(hh<=tt&&s[q[tt]]<=s[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(ans[i]) puts("TAK");
        else puts("NIE");
    }
}

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